Introdução á Geometria Espacial

Ideia Gerais

Na geometria, pontos, retas e planos são algumas noções aceitas sem definição, e por isso chamadas de noções primitivas.

•  Um ponto não tem dimensão, nem massa, nem volume.
•  Uma Reta não tem espessura, nem começo nem fim.
•  Um plano não tem espessura, nem começo nem fim.

Definição de Figura

• Qualquer conjunto de pontos, com pelo menos um ponto, com pelo menos um ponto, considerado no espaço é chamado de figura.

Posições Relativas

Ao nosso redor, observamos a ideia de paralelismos entre muitos elementos. Vejamos como as retas e o planos se relacionam por meio do paralelismo.

Retas Paralelas

• Duas retas , r e s, são paralelas se tem todos os pontos comuns(coincidem) ou se estão num mesmo plano α e não têm nenhum ponto comum(intervenção vazia).

Planos Paralelos

• Dois planos, α e β, são paralelos se coincidem(têm todos os pontos comuns) ou se não tem nenhum ponto comum.

Reta e planos paralelos

• Reta r e um plano α são paralelos se a reta r contida no plano α ou se a reta r e o plano α não tem nenhum ponto comum.

Propriedades do paralelismo 

A seguir são apresentadas algumas propriedades do paralelismo. Todas elas podem ser demonstradas:

 Retas reversas
 

• Duas retas, r e s, são reversas(são coplanares) quando não existe um mesmo plano que as contenha.

No cubo ao cima, não existe um mesmo plano que contenha as retas r e s, desse modo elas são reversas. Em linguagens simbólica, escrevemos:

α tal que r ⊂ α e s ⊂ α

Retas concorrentes

• Duas retas, r e s, são concorrentes quanto tem apenas um ponto P em comum.

 Para indicar simbolicamente que r e s são congruentes, escrevemos: r ∩ s = {P}

Retas perpendiculares

• Duas retas,r e s, são perpendiculares quando são concorrentes e determinam quatro ângulos retos.

Retas ortogonais

• Duas retas, r e s, são ortogonais quando existe uma reta t que é paralela(não coincidente) a s é perpendicular a r.

Reta e plano perpendiculares

Quando uma reta r e um plano α tem somente um ponto comum, dizemos que r e α são secantes(ou concorrentes). Uma situação particular de reta e plano secantes é o caso em que a reta é perpendicular ao plano.

• Dados uma retas r e um plano α, concorrentes no ponto P, dizemos que r é perpendicular a todas as retas de α que passam por P.

Planos Concorrentes

• Dois planos distintos, α e β, são concorrentes (ou secantes) quando têm pelo menos um ponto comum(interseção não vazia)

Planos perpendiculares

Dois planos, α e β, são perpendiculares quando um deles contém uma reta r perpendicular ao outro plano.